偏差値は「平均から標準偏差いくつ分ずれているか」を50を基準に直した値
式は 偏差値 = 50 + 10 ×（得点 − 平均点）÷ 標準偏差 です。平均点と同じなら50、標準偏差1つ分上なら60、2つ分上なら70になります。
なぜ点数そのままではだめなのかというと、テストによって難易度が違うからです。平均40点のテストの70点と、平均80点のテストの70点は、まったく違う成績です。偏差値は平均と散らばりで割り戻すので、難易度が違うテストどうしを比べられます。模試の判定に偏差値が使われるのはこのためです。
ここで効いてくるのが標準偏差です。同じ「平均+15点」でも、標準偏差が5点なら偏差値80、15点なら偏差値60、30点なら偏差値55です。みんなの点数が固まっているテストで平均を大きく上回るほうが、ばらけているテストで同じ点差をつけるより価値が高い、という考え方です。
偏差値と上位%の関係
得点が正規分布に近いとみなすと、偏差値から上位何%かが決まります。
- 偏差値50 → 上位50%（ちょうど真ん中）
- 偏差値60 → 上位約15.9%（100人なら約16位）
- 偏差値70 → 上位約2.3%（100人なら約2位）
- 偏差値80 → 上位約0.13%（1000人なら約1位）
偏差値が10上がるごとに上位%が急に狭くなるのがポイントです。50から60への10は「真ん中から上位16%」ですが、60から70への10は「16%から2.3%」で、同じ10でも中身の重さがまったく違います。偏差値が上がるほど1つ上げるのが難しくなるのは、この分布の形そのものが理由です。
この対応はあくまで正規分布とみなした場合の目安です。極端に簡単で満点が多いテストや、難しくて低得点に固まったテストでは分布が偏るため、実際の順位とずれます。
目標の偏差値に必要な点数
式を逆にすれば必要な点数が出ます。得点 = 平均点 +（目標偏差値 − 50）× 標準偏差 ÷ 10。
平均60点・標準偏差15点のテストで偏差値65を狙うなら、60 +（65 − 50）× 15 ÷ 10 = 82.5点です。同じ条件で偏差値70なら90点、偏差値75なら97.5点。上の欄に目標偏差値を入れると、必要な点数と現在の得点からの差が出ます。
ここでも標準偏差が効きます。標準偏差が小さいテストでは、偏差値を上げるのに必要な点数の差が小さくなります。逆に言えば、ばらけていないテストでは数点の取りこぼしが偏差値を大きく下げます。
偏差値が100を超えることもある
偏差値には上限も下限もありません。標準偏差が小さいテストで大きく外れた点を取れば、計算上は100超やマイナスになります。たとえば平均50点・標準偏差5点で満点100点なら、50 + 10 ×（100 − 50）÷ 5 = 偏差値150です。
実際の模試では受験者数が多く分布がなだらかになるため、おおむね20〜80の範囲に収まります。この計算機は補正をかけず、計算結果をそのまま表示します。
標準偏差がわからないとき
偏差値を計算するには標準偏差が必要です。模試の成績表には平均点と並んで載っていることが多いので、まずそれを探してください。
逆に、成績表に偏差値が書いてあるなら標準偏差を推定できます。標準偏差 = 10 ×（得点 − 平均点）÷（偏差値 − 50）です。得点80・平均60・偏差値65なら、10 ×（80 − 60）÷（65 − 50）= 約13.3点が標準偏差です。これがわかれば、同じテストで別の点数を取ったときの偏差値も計算できます。
計算に使った基準
- 偏差値 = 50 + 10 ×（得点 − 平均点）÷ 標準偏差
- Zスコア =（得点 − 平均点）÷ 標準偏差 · 偏差値 = 50 + 10 × Z
- 必要な点数 = 平均点 +（目標偏差値 − 50）× 標準偏差 ÷ 10
- 上位% · パーセンタイル = 標準正規分布の累積確率（誤差関数の近似 Abramowitz & Stegun 7.1.26、最大誤差1.5e-7）
- 上位% = 順位 ÷ 受験者数 × 100 · パーセンタイル =（受験者数 − 順位）÷ 受験者数 × 100